koronavirus, nő
Prof

Hogyan lehet 12 fertőzöttből 12 ezer? A koronavírus matematikája

A hazai néhány fertőzöttből nálunk sem kizárt, hogy akár pár hónapon belül sokezres esetszám váljon, ha a koronavírus terjedése beindul. Nem állítjuk, hogy ez így lesz, és nagyon reméljük, hogy nem, de a vírusfertőzések dinamikájával ettől függetlenül érdemes tisztában lenni. A COVID-19 koronavírus alap szaporodási rátája durván az influenza kétszerese lehet, és így hatásos beavatkozás híján a tényleges terjedése is könnyen begyorsulhat. A fertőzések száma feltehetően egy logisztikus függvény szerint alakul majd, de az inflexiós pont ki tudja, még milyen messze van. Az alábbi cikkben a járványok alapvető matematikájával és a koronavírus potenciális kifutásával foglalkozunk.

A koronavírus számai

Letarolta a közbeszédet a koronavírus, ma már szinte minden hazai munkahelyen, iskolában, de még a vidéki kocsmákban is erről beszélnek az emberek. Vannak, akik nagyon félnek, szemmel láthatóan nő a maszkot viselők aránya is a budapesti tömegközlekedésben. De eközben vannak olyanok is, akik még továbbra is úgy gondolják, hogy ezt az egészet csak felfújta a média. Ha valaki ránéz a hazai regisztrált esetszámra, könnyen gondolhatja, hogy itt még nincs is akkora probléma. Magyarországon ennek a cikknek a szerkesztésekor (március 10-én) összesen 12 fertőzöttről tudni.

A koronavírus helyes megítéléséhez ugyanakkor nagy hiba az aktuális számokból kiindulni. Ami igazán érdekes, az az esetszámok mögött megbújó trend.

De miféle idősorral is állunk szemben egy vírusfertőzés esetében, és vajon hogyan lehetne ezt modellezni? Az alábbiakban most ennek a kérdésnek a matematikai alapjaival foglalkozunk, amely bár közel sem ad mindenre választ, de arra jól rávilágít, hogy mekkora bizonytalanság (és egyben veszély) övezi a koronavírus terjedését.

Mennyire veszélyes a COVID-19 koronavírus?

Ma már több mint 110 ezer regisztrált beteg van, és durván 4000 halálesetet jelentettek világszerte. A legfrissebb hivatalos becslés a halálozási rátára 3,4%, de szakértők szerint ez valójában alacsonyabb lehet (1-3% közötti), mert sok az észre nem vett enyhe beteg. De még ha a becslések alját jelentő 1% körül is van igazából ez a ráta, akkor is az influenzánál egy nagyságrenddel veszélyesebb vírusról beszélünk (amely kb. 0,1%-os halálozással jár).

Szakértők szerint a vírustól az emberek 20 százaléka lesz súlyosan beteg, ha elkapja. De ez a szám is olyan, hogy a valóságban kisebb lehet, mert sokan vannak, akik enyhe tünetekkel nem fordulnak orvoshoz és ezért sosem regisztrálják őket.

Igaz továbbá az is, hogy döntően az időseknél válik nagyon súlyossá a koronavírus, de ez nem jelenti azt, hogy a fiatalabbaknál egyáltalán ne alakulhatna ki válságos helyzet. Egyszerűen csak a valószínűsége sokkal kisebb.

A fertőzés matematikája

A továbbiakban vegyük át a járványok terjedésének legalapvetőbb számításait, illetve az ehhez kapcsolódó legfontosabb mutatószámokat. Kezdjük is egy könnyen értelmezhető egyenlettel, amely később nagyban segíthet a koronavírus trendjének helyes megértésében. 

Vegyük a következő helyzetet: tudjuk, hogy van N darab fertőzött ember közöttünk, akik p valószínűséggel fertőzik meg a velük kontaktusba kerülő K darab embert. Ebből kifolyólag az adott napon megfertőződő emberek ΔN-el jelölt száma a következő egyenlettel írható le:

ΔN = K * p * N

Ezzel tehát azt írtuk le matematikailag, hogy ha van például 10 koronavírusos itthon, akik fejenként 1 emberrel érintkeznek egy nap alatt, és őket 10% valószínűséggel fertőzik meg, akkor másnapra durván eggyel nőhet az esetszám.

Hangsúlyoznánk, hogy ez így leírva nem más, mint az effektív szaporodási ráta (aktuális "terjedési sebesség"), amit csak simán R-el jelölnek, és ez nem ugyanaz a mutató, mint a járványtanban használatos – és manapság egyre gyakrabban idézett – alap szaporodási ráta (R0).

Az R0 az egyik legfontosabb mutató a járványok esetében, amely annak az átlagát adja meg, hogy egy fertőző beteg várhatóan hány másiknak adja át a vírust immunitás és defenzív intézkedések hiányában. Ha ez az érték 1-nél nagyobb, akkor a vírus könnyen terjedhet, míg ha annál kisebb akkor várhatóan le fog csengeni. Fontos ugyanakkor tudni, hogy ez a szám az adott vírus potenciális fertőzőképességét tükrözi, amit modellek segítségével lehet megbecsülni, sokszor meglehetősen nagy bizonytalanság mellett. Továbbá megjegyzendő az is, hogy a magas alap szaporodási ráta nem mindig jár együtt rengeteg beteggel (ténylegesen magas szaporodási rátával), mert ez utóbbit más faktorok és különféle beavatkozások is módosítják. A SARS koronavírus esetében például 2 és 5 közé tették az R0 értékét, mégis csak 8000 embert fertőzött meg. Ehhez képest az influenza alap szaporodási rátája a becslések szerint 1,3 körül lehet, mégis milliókat fertőz meg évente.

A COVID-19 koronavírusnak – amelyről most minden szól – pedig valahol 2 és 3 között lehet az R0 értéke. Egy friss becslés szerint éppen 2,3, de az esetszám már ugye a SARS többszöröse. Tehát az R0 bár egy nagyon fontos járványügyi mutató, amely egyértelműen utal az adott vírus fertőzőképességére, de nem adja meg a teljes képet. 

Hogy végül pontosan hányan fertőződnek meg, azt számos tényező befolyásolja, amit nem könnyű megjósolni. A téma matematikai alapjai viszont talán könnyebben megérthetőek, ha először az effektív szaporodási rátából indulunk ki (R), vagyis abból, hogy ténylegesen miként alakul a fertőzések száma. Az elsőként bemutatott egyszerű egyenletünket folytatva, most valahogyan fejezzük ki a holnapi fertőzöttek számát a mai fertőzöttek számával. Milyen tényezőket kell vajon azonosítanunk ehhez? Kezdjük csak a legfontosabbakkal: hány fertőzött van ma (Nma), ők milyen valószínűséggel fertőznek meg másokat (p), és hány emberrel érintkeznek (K). Ez utóbbi szorzata adja egyébként a tényleges terjedést (R = K * p) a teljes populációban. Képlettel kifejezve:

Nholnap = Nma + K * p * Nma

Ezután tegyünk még néhány átalakítást, hiszen az egyenletből kiemeléssel azt kaphatjuk, hogy:

Nholnap = (1 + K * p) * Nma   

Illetve ebből következik az is, hogy:

Nma = (1 + K * p)napok száma * Nkezdő napon

Ebből az átrendezésből pedig máris látható, hogy egy exponenciális dinamikát mutató modellt kapunk, amiben a K és a p szorzatán, vagyis az R-en múlik, hogy mennyire terjedhet gyorsan a vírus. Ha ez nagyobb mint 1, akkor baj van. Például ha ez a teljes szorzótényező már napi szinten eléri az 1,1-et, az azt jelenti, hogy hetente duplázódhat az esetszám. Ellenben, ha sikerül 1 alá leküzdeni az értékét, akkor az új megbetegedések száma egyre csökkenhet. Így pedig előbb-utóbb kigyógyulhatnak az emberek a vírusból.

A COVID-19 koronavírus esetében nem tudjuk pontosan mikor indult útjára a járvány. Igazából csak az elmúlt három hónapban került reflektorfénybe a dolog, de nem kizárt, hogy mindez már korábban elkezdődött Kínában. Március 9-én a regisztrált betegek száma már 111 ezer fő volt, míg a tényleges esetszám még ennél is feltehetően nagyobb. Ha úgy vesszük, hogy kb. 3-4 hónap alatt fertőződött meg durván 100 ezer ember, akkor az nagyjából 1,10 és 1,14 közötti napos szorzót (R-t) jelenthet. Persze az ebből már nem következik, hogy ez az érték ilyen magas is maradhat.

Nem mindegy, hogy mennyire terjed

A fentiek alapján belátható, hogy milyen fontos információval is bír a regisztrált esetszám változása egy-egy országban. Ez ugyanis az empirikus megfigyelésünk a fenti szorzónkra, amely változatlansága mellett akár nagyon ijesztő trend is előállhat. Ha csak simán napi 1,1-el számolnánk, akkor még idén letarolná az egész világot a koronavírus, de azért reméljük, hogy ez túlzás.

Van itt ugyanis egy gyakori félreértés az exponenciális kivetítések kapcsán: ebben a történetben ugyanis egészen biztosan nem egy exponenciális függvénnyel állunk szemben, hanem inkább egy logisztikussal.

A különbség az, hogy a logisztikus függvényben van egy inflexiós pont, amit követően az esetszám növekedése egyre lassul. Mindezt a 3Blue1Brown-nak a témához készített grafikáján láthatjuk:

logisztikus_fuggveny
Forrás: 3Blue1Brown

Ahogy egy járvány előrehaladottabb fázisba kerül, úgy lesz egyre kevesebb ember, akit majd meg tud fertőzni. Hiszen egy idő után egészen egyszerűen elkezdenek elfogyni a potenciálisan megfertőzhető emberek. Vagyis ekkor a fenti egyenletben használt K értékének a csökkenésével elkezd lassulni a terjedés. Hogy ez pontosan mikor következik be, vagyis hol lehet az a bizonyos inflexiós pont, azt nagyon nehéz megjósolni.

A fenti megközelítést persze számos egyéb tényező bonyolítja még a valóságban. Ezért aztán a járványok matematikai modellezése sem éppen könnyű, és számos megközelítés született már rá. Ezek közül talán a legismertebb a SIR modell, amelynek a klasszikus változata az adott populációt három részben vizsgálja: az S (susceptible) jelöli a vírus által potenciálisan megfertőzhető embereket, az I (infected) jelöli a megbetegedett populációt, akik éppen terjesztik a vírust, és az R (removed) a már víruson átesetteket, akik vagy meggyógyultak, vagy meghaltak. A SIR modell ebben a felosztásban számos feltételezéssel élve vezeti le, hogy ezek a részpopulációk hogyan alakulhatnak időben, vagyis hogy az egyes csoportok (S, I, R) között miként áramlanak majd az emberek.

A SIR modellnek számos változata létezik a szakirodalomban, és magát a COVID-19 koronavírus terjedését is vizsgálták már ilyen matematikai megközelítésben, meglepően pontos előrejelzéseket eredményezve.

A járványok matematikai modellezése a számítástechnika fejlődésével óriásit lépett előre, hiszen ma már a tengernyi adatmennyiség feldolgozása és a felfoghatatlanul sokszoros szimuláció kiszámolása is kivitelezhetővé vált. Mindez egyrészt nagyban megkönnyíti a járványok terjedésének a megértését és előrejelzését, másrészt pedig abban is segítséget nyújthat, hogy milyen beavatkozásokra van szükség a járványok megállításához.

A vírusok terjedésének matematikai szimulációjából tudjuk azt a lehangoló tényt is, hogy hiába élnek az emberek elkülönült klaszterekben (városok, régiók, országok), ha ezek között van valamekkora átjárás, akkor a vírusok terjedése sajnos nem fog igazán lelassulni. Egyszóval ha bizonyos valószínűséggel be tud lépni egy országba a vírus, akkor előbb-utóbb be is fog jönni és el fog terjedni. Tehát erre az eshetőségre Magyarországnak is fel kell készülnie, nem jó ötlet abban reménykedni, hogy ezt mi megússzuk.

12 esetből hogyan lehet 12 ezer?

Az eddig taglalt alapokból könnyen leszűrhető, hogy a hazai koronavírus-helyzet sem éppen rózsás, hiába csak 12 regisztrált esetünk van egyelőre. Tekintve, hogy Magyarország nem zárhatja be teljesen a kapuit, nagyon valószínű, hogy az Európában éppen felívelő szakaszban lévő vírus nálunk is önálló utakra talál majd. A fertőzöttek kontaktjainak felkutatása csak addig működik, amíg kellően gyorsak vagyunk és jó arányban regisztráljuk a betegeket. De sajnos más országok példáját látva ez nem biztos, hogy hosszútávon tartható lesz.

Ha itthon is beüt a baj, akkor a mostani egy tucatról nagyon könnyen felszökhet az esetszám, amitől kezdve az érintettek felkutatása hamar ellehetetlenülhet. Ekkortól pedig nagyon sok fog múlni az egészségügy felkészültségén, illetve az emberek viselkedésén. Amennyiben az a súlyos helyzet alakul ki, hogy nálunk is az a bizonyos napi 1,1-es terjedési érték következik be, akkor május közepére 12-ről simán 12 ezerre nőhet az esetszám.

Hangsúlyozzuk, hogy ez nem egy előrejelzés a részünkről, pusztán egy rossz forgatókönyv mérlegelése.

Vegyük észre továbbá, hogy ennek a bizonyos napi R értéknek akár csak az 1 százalékpontos javítása is látványosan kevesebb megbetegedést jelentene az előttünk álló kritikus hónapokban.

72 nappal számolva a talán megváltást hozó nyárig (kb. május közepe) durván a megbetegedések felét(!) is megúszhatnánk, ha 1,1-ről 1,09-re csökkenne a járvány esetleges terjedése. Vagyis a matek azt mondja, hogy az effektív szaporodási ráta nagyon apró csökkenése is óriási eredményeket hozhat. Ez egyrészt hatalmas bizonytalanságot visz a kivetítésekbe már pár hónapos időtávon is, másrészt viszont ennek a tudatában hirtelen más színben tűnik fel mindenfajta szigorú korlátozás.

Nem véletlen tehát, hogy a koronavírus elleni harcban akkora erőfeszítéseket tesznek az emberi érintkezések elkerülésére és a fertőzöttek elszeparálására Kínában, Iránban és immár Észak-Olaszországban is (ezzel ugye a fentebb taglalt K-t csökkentik). De hasonlóan fontos persze az egyéb védekező intézkedések propagálása is, mint amilyen a gyakori kézmosás vagy az otthoni munkavégzés (ezzel a terjedési ráta másik fontos tényezőjét, a p-t csökkentve).

Amennyiben az 1 és 3 százalék közé becsült halálozási ráta átlagával számolunk, akkor ez az említett 1 százalékpontos csökkenés a terjedésben már több mint 100 emberélet megmentését is jelentheti NYÁRIG. vagyis ha baj lesz, akkor jobban tesszük, ha mi sem finomkodunk a korlátozásokkal.

koronavirus_nagyvaros
boris johnson brexit
joe biden koronavirus
franciaorszagparizs
Küszöbön az összeomlás: Törökország lehet a következő Venezuela
Friss hírek TÖBB FRISS HÍR
Online kurzus
Akár 100 000 Ft-al elkezdhető, hosszú távú megtakarítási módszer.
A tőzsdei könyv
Útmutató, amely piaci pánikok esetén is használható.
Portfolio hírlevél
Ne maradjon le a friss hírekről!
Iratkozzon fel megújult, mobilbarát
hírleveleinkre és járjon mindenki előtt.

Kiadó modern irodaházak

Az iroda ma már több, mint egy munkahely. Találják meg most cégük új otthonát.

Infostart.hu

Junior portfoliókezelő

Junior portfoliókezelő
2020. május 21.
FM & Office 2020
2020. május 21.
Future City 2020
2020. június 2.
Smart Logistics 2020
2020. június 9.
Portfolio-MAGE Járműipar 2020
koronavirus, mikroszkop