
2020. november 29-én, egy szép vasárnap délutánon a Portfolio.hu címlapján 44 darab szám kezdődött 1-essel, 31 db 2-essel és 23 db 3-assal. Minél nagyobb egy szám, úgy tűnik, annál ritkábban fordul elő kezdő számjegyként - vonjuk le a következtetést a kávénkat kortyolgatva. Nem, egyelőre még nem őrültünk meg és nem is agyzsibbasztó számmisztikáról fogunk beszélni, hanem egy különös jelenségről: a Benford-szabályról.
Ez az a megfigyelés, amivel le lehetett volna buktatni a görög hatóságokat, amikor hamis makrogazdasági statisztikákkal léptek be az eurózónába. Ez az a módszer, ami elárulja, ha hazudnak a COVID-esetek számáról, vagy ha éppen elcsalják valahol a választást. Persze minden ilyen módszernek megvan a maga korlátja, de a Benford-szabály mégis egy olyan eszköz, amit ma már nem csak a tudományos kutatásokban, hanem a gyakorlati életben is előszeretettel használnak adatmanipulációk felderítésére.
Kezdjünk is bele!
A történetünk több mint 100 évvel ezelőttre nyúlik vissza, amikor is egy bizonyos Simon Newcomb nevű csillagász logaritmus táblázatokat lapozgatott és valami egészen furcsa jelenségre lett figyelmes. Feltűnt neki, hogy az első lapok (amik sorszáma 1-essel kezdődött) jóval megviseltebb voltak a többinél. A dolgot furcsállni kezdte, hiszen nem tűnik magától értetődőnek, hogy miért pont azokat a logaritmusokat felsoroló lapokat keressék fel a legtöbben.
A megfigyeléseit pontosan számszerűsítette is, majd 1881-ben pedig le is publikálta. Pechére ezt a furcsa jelenséget mégsem róla nevezték el: nála is bekövetkezett tehát a tudósok rémálma: Stigler eponimia törvénye. 1938-ban ugyanis egy Frank Benford nevű fizikus ismét rátalált erre a furcsa jelenségre. Észrevette, hogy a természetes megfigyelésekből eredő adatok első számjegyeinek a gyakorisága kissé furcsa.
Benford több mint 20 ezer számot jegyzett fel olyan különböző területekről, mint például a molekulák súlya, egy matematikai kézikönyv bejegyzései, vagy éppen 335 folyó méretének a leírásai. Ezek az igen különböző forrásokból jövő számok egyértelműen azt mutatták, hogy a első számjegyek gyakorisági eloszlása nem egyenletes.
Annak a valószínűsége, hogy egy véletlenül kiválasztott szám 1-essel kezdődik durván 30%, míg az, hogy 9-essel, már kevesebb mint 5%.
A jelenséget Benford az 1938-as publikációjában a rendellenes számok törvényének nevezte, és az írása „virális lett”, ha lehet ilyet mondani. Innentől kezdve pedig a legtöbben Benford-szabályként kezdtek hivatkozni erre a különös jelenségre, és csak az igazán jószívű tudósok jegyzik meg, hogy ez valójában a Newcomb-Benford-szabály.
Jegyezzük itt ugyanakkor meg, hogy a Benford-szabály (mi is már csak így fogunk rá hivatkozni, mert így lett közismert) azért nem minden esetben érvényesül. Vannak ugyanis olyan jól dokumentált körülmények, amik ennek a „szabálynak” a kibontakozását ellehetetlenítik. Amennyiben az előálló számok egy jól behatárolható sávban mozognak, mint amilyen például az emberek testmagassága vagy az IQ-ja, akkor máris elromlik a dolog. Viszont a legtöbb olyan természetesen előálló számnál, amely több nagyságrenden keresztül ível át, már általában érvényesül. Méghozzá számrendszertől függetlenül, ami elsőre meghökkentő lehet.
Ez hogyan lehetséges?
A Benford-szabály sokakból hitetlenkedést vált ki, még annak ellenére is, hogy az igen könnyen tesztelhető. A legtöbbünk alapgondolata ugyanis az, hogy amennyiben véletlen jelenségeket nézünk, akkor egyenlő valószínűséggel kellene előfordulnia 1-től 9-ig a számoknak, vagyis mindegyikükkel az esetek 11,1%-ában kellene találkoznunk. De ez nagyon gyakran még sincs így, és ennek egy speciális oka van, amit a következő példán magyarázunk el.
Képzeljünk el egy nagyon egyszerű tombolasorsolást, ahol kezdetben kilenc ajándék van csak és így kilenc számot húznak ki. Ilyenkor még nyilvánvalóan csak 11,1% esélyünk van rá, hogy 1-es lesz a kihúzott szám. De amint 10-re növeljük a sorszámokat, már kettő szám fog 1-essel kezdődni: az 1-es és a 10-es. Ekkor annak a valószínűsége, hogy 1-el kezdődik a kihúzott szám, hirtelen megugrik 20%-ra. Ahogy pedig felmegyünk 19-ig, úgy folyamatosan nő az 1-essel kezdődő számok valószínűsége, hogy aztán durván 58%-on tetőzzön.
A 20. tombolától kezdve viszont ismét csökkenni kezd az 1-essel kezdődő számok valószínűsége, 99-nél pedig már vissza is térünk a kiinduló 11,1%-os értékre. Pont ahonnan indultunk. Aztán amint nagyságrendet ugrunk, a 100-asok klubjába lépve újra megindul az emelkedés, és ez a történet így megy tovább a végtelenségig. Minden egyes tízes nagyságrend megugrása után emelkedésnek indul az 1-essel kezdődő számok valószínűsége, majd pedig csak fokozatosan tér vissza a következő ugrás bekövetkeztéig a 11,1%-hoz.
Ennek az ingadozásnak a megértése a kulcs a Benford-szabályhoz. A való életben ugyanis az történik, hogy a sok nagyságrenden átívelő véletlenszerű számok bárhol lehetnek, és ezért ki kell átlagolnunk valamiképpen ezt az ingadozó valószínűséget.
E fenti számítás általános formájához pusztán a logaritmusszámítást kell ismernünk (amit ahogy korábban már megírtuk: az agyunk zsigerből tud). A formula a következő egy d-vel jelölt kezdő számjegyre:

10-es alapú logartimust véve könnyen kiszámolható, hogy az 1-essel kezdődő számok gyakorisága 30,1% körül lesz, míg a 9-eseké 4,6% körül. Fontos még hozzátenni, hogy az újabbnál újabb kutatások sorra megerősítették a Benford-szabály érvényességét a legkülönbözőbb adatforrásokon alapulva. Az is kiderült továbbá, hogy nem feltétlenül kell az adatoknak sok nagyságrenden átívelnie, ha azok egymástól különböző forrásokból származnak (vagyis véletlenszerű, hogy milyen az eloszlásuk).
A számok nem hazudnak
Ez mind szép és jó, de vajon mi ennek az egésznek a gyakorlati haszna? Nos, a válasz az, hogy ez a jelenség igencsak hasznos eszköz lehet arra, hogy „hazugságvizsgálat” alá helyezzünk társadalmi vagy gazdasági mutatókat.
A hétköznapi élet során előálló statisztikák és számszerű adatok ugyanis nagyon sok esetben megfelelnek a Benford-szabály minimum követelményeinek, más szóval: ezek a számok mind a fentiekben előírt gyakoriságok szerint kell, hogy megjelenjenek. Amennyiben mégsem így találjuk, akkor feltételezhető, hogy azokat valaki kézzel manipulálta.
Így történt például a görögök eurózónába való csatlakozásakor is, ahol is a makrogazdasági statisztikákról derült ki (késve), hogy azok valamilyen különös oknál fogva nem mentek át a Benford-teszten. De ugyanezt a módszert vetették be számos gazdasági csalás vizsgálatánál is, mint amilyen például az elhíresült Enron-botrány volt.
Az elmúlt időszakban pedig választások tisztaságára, illetve a COVID-19-ről közölt adatok ellenőrzésére is bevetették a Benford-szabályt, amiről később még külön beszélni fogunk itt a Portfolio Prof hasábjain.
Megjött a bejelentés: újraindult a kőolajtranzit a Barátság vezetéken Szlovákiába
Sztenderd üzemmódban.
Megrázó felvételek: gyakorlás közben zuhant le egy F-16-os vadászgép Lengyelországban
Egy légibemutatóra készült, mikor megtörtént a baj.
Rendkívül súlyos hatással lehet a folyamatos stressz a szívre, egy tanulmány szerint
Veszélyes láncreakciót indíthat be.
Megjött a jelzés: az elemzők szerint közel 50 százalékot emelkedhet ez a részvény
Ez lehet a következő hónapok sztárpapírja.
Drágulhatnak az iPhone-ok: ennyibe kerülhet majd az új széria
Hamarosan érkeznek az új modellek.
Folytatódik a leépítés: a Nike újabb munkavállalóktól válik meg
Egyelőre nem világos, pontosan hány munkahely szűnik meg.
United Parcel Service Inc. - elemzés
'23-ban már elemeztem, akkor még csak 14 éves osztalékemelés múltja volt, ez azóta 16-ra nőtt. Akkor az tetszett benne, hogy amit mondtak a következő évre, azt kb. hozták is. Na, ez most egy k
Hétfőn indul az Otthon Start! Élőben jövünk a legfrissebb információkkal
Szeptember 1-jén hivatalosan is elrajtol az Otthon Start program. Ezzel párhuzamosan a bankok is elindítják saját ajánlataikat - de pontosan hol és hogyan lehet igényelni, mik lesznek a konkrét fe
Megnyílt a föld alatti aranybánya: geotermia kamatmentes forrással
Képzeld el, hogy van egy technológia, amely egyszerre csökkenti a költségeidet, zöldíti a működésedet és még állami forrás is jár mellé - kamatmentesen, két évtizedre.

ESG és adózás: így kapcsolódik össze a társadalmi felelősségvállalás és a vállalati adományozás
Az elmúlt években egyre nagyobb figyelmet kapott az ESG, azaz a környezeti, társadalmi és vállalatirányítási szempontokat figyelembe vevő működés. Az ESG nem csupán trend vagy megfelelési k

Jelentősen hűtik a klímát az erdőtüzek
A Washingtoni Egyetem kutatóinak idén megjelent tanulmánya szerint a boreális erdőtüzek robbanásszerű növekedése nyomán jelentősen hűl a klíma.
Megroppan-e az amerikai-indiai szövetség a vámháború súlya alatt?
Az Egyesült Államok és India kapcsolata 2025 augusztusában látványos fordulatot vett. Washington döntése, amely magas vámot vezetett be az indiai export jelentős részére, nem pusztán gazdasá
Ha érdekelnek a befektetések és a gazdaság helyzete, hallgasd meg élő beszélgetésünket!
Mi várhat a világgazdaságra a geopolitikai konfliktusok korában, és mindebben milyen jövőkép rajzolódik ki Magyarország számára? Mi lesz a hatalmas költségvetési hiánnyal, a törékeny fori

Az USA adósság mögötti árnyékkereslet felemelkedése
Az amerikai államkötvények piacán a hedge fundok és a stabil érmék kibocsátói egyre fontosabbá válnak a napi árazásban. Ezek a szereplők gyakran a rövid távú profitra és piaci feltételek

Limit, Stop, vagy Piaci? Megbízások, amikkel nem lősz mellé!
Ismerd meg a tőzsdei megbízások világát, és tanulj meg profin navigálni a piacokon!
Bikák és Medvék: Kivel jobb haverkodni a tőzsdén?
Hogyan ismerd fel, hogy épp emelkedő (bull) vagy csökkenő (bear) piacon jársz? Megtanulhatod, mikor érdemes növelni a kockázatvállalást, és mikor jobb óvatosan hátrálni.
Velünk marad az árrésstop, de mit fizetünk érte valójában?
Utánajártunk, vajon mit mutatnak a számok és mi várható a következő hónapokban
Meddig fékezheti az inflációt az árrésstop?
Kozák Tamással, az OKSZ főtitkárával beszélgettünk.
Nagy pofont kaptak a boltok - Mi jön most?
Örülhetnek a vásárlók ennek?
