
2020. november 29-én, egy szép vasárnap délutánon a Portfolio.hu címlapján 44 darab szám kezdődött 1-essel, 31 db 2-essel és 23 db 3-assal. Minél nagyobb egy szám, úgy tűnik, annál ritkábban fordul elő kezdő számjegyként - vonjuk le a következtetést a kávénkat kortyolgatva. Nem, egyelőre még nem őrültünk meg és nem is agyzsibbasztó számmisztikáról fogunk beszélni, hanem egy különös jelenségről: a Benford-szabályról.
Ez az a megfigyelés, amivel le lehetett volna buktatni a görög hatóságokat, amikor hamis makrogazdasági statisztikákkal léptek be az eurózónába. Ez az a módszer, ami elárulja, ha hazudnak a COVID-esetek számáról, vagy ha éppen elcsalják valahol a választást. Persze minden ilyen módszernek megvan a maga korlátja, de a Benford-szabály mégis egy olyan eszköz, amit ma már nem csak a tudományos kutatásokban, hanem a gyakorlati életben is előszeretettel használnak adatmanipulációk felderítésére.
Kezdjünk is bele!
A történetünk több mint 100 évvel ezelőttre nyúlik vissza, amikor is egy bizonyos Simon Newcomb nevű csillagász logaritmus táblázatokat lapozgatott és valami egészen furcsa jelenségre lett figyelmes. Feltűnt neki, hogy az első lapok (amik sorszáma 1-essel kezdődött) jóval megviseltebb voltak a többinél. A dolgot furcsállni kezdte, hiszen nem tűnik magától értetődőnek, hogy miért pont azokat a logaritmusokat felsoroló lapokat keressék fel a legtöbben.
A megfigyeléseit pontosan számszerűsítette is, majd 1881-ben pedig le is publikálta. Pechére ezt a furcsa jelenséget mégsem róla nevezték el: nála is bekövetkezett tehát a tudósok rémálma: Stigler eponimia törvénye. 1938-ban ugyanis egy Frank Benford nevű fizikus ismét rátalált erre a furcsa jelenségre. Észrevette, hogy a természetes megfigyelésekből eredő adatok első számjegyeinek a gyakorisága kissé furcsa.
Benford több mint 20 ezer számot jegyzett fel olyan különböző területekről, mint például a molekulák súlya, egy matematikai kézikönyv bejegyzései, vagy éppen 335 folyó méretének a leírásai. Ezek az igen különböző forrásokból jövő számok egyértelműen azt mutatták, hogy a első számjegyek gyakorisági eloszlása nem egyenletes.
Annak a valószínűsége, hogy egy véletlenül kiválasztott szám 1-essel kezdődik durván 30%, míg az, hogy 9-essel, már kevesebb mint 5%.
A jelenséget Benford az 1938-as publikációjában a rendellenes számok törvényének nevezte, és az írása „virális lett”, ha lehet ilyet mondani. Innentől kezdve pedig a legtöbben Benford-szabályként kezdtek hivatkozni erre a különös jelenségre, és csak az igazán jószívű tudósok jegyzik meg, hogy ez valójában a Newcomb-Benford-szabály.
Jegyezzük itt ugyanakkor meg, hogy a Benford-szabály (mi is már csak így fogunk rá hivatkozni, mert így lett közismert) azért nem minden esetben érvényesül. Vannak ugyanis olyan jól dokumentált körülmények, amik ennek a „szabálynak” a kibontakozását ellehetetlenítik. Amennyiben az előálló számok egy jól behatárolható sávban mozognak, mint amilyen például az emberek testmagassága vagy az IQ-ja, akkor máris elromlik a dolog. Viszont a legtöbb olyan természetesen előálló számnál, amely több nagyságrenden keresztül ível át, már általában érvényesül. Méghozzá számrendszertől függetlenül, ami elsőre meghökkentő lehet.
Ez hogyan lehetséges?
A Benford-szabály sokakból hitetlenkedést vált ki, még annak ellenére is, hogy az igen könnyen tesztelhető. A legtöbbünk alapgondolata ugyanis az, hogy amennyiben véletlen jelenségeket nézünk, akkor egyenlő valószínűséggel kellene előfordulnia 1-től 9-ig a számoknak, vagyis mindegyikükkel az esetek 11,1%-ában kellene találkoznunk. De ez nagyon gyakran még sincs így, és ennek egy speciális oka van, amit a következő példán magyarázunk el.
Képzeljünk el egy nagyon egyszerű tombolasorsolást, ahol kezdetben kilenc ajándék van csak és így kilenc számot húznak ki. Ilyenkor még nyilvánvalóan csak 11,1% esélyünk van rá, hogy 1-es lesz a kihúzott szám. De amint 10-re növeljük a sorszámokat, már kettő szám fog 1-essel kezdődni: az 1-es és a 10-es. Ekkor annak a valószínűsége, hogy 1-el kezdődik a kihúzott szám, hirtelen megugrik 20%-ra. Ahogy pedig felmegyünk 19-ig, úgy folyamatosan nő az 1-essel kezdődő számok valószínűsége, hogy aztán durván 58%-on tetőzzön.
A 20. tombolától kezdve viszont ismét csökkenni kezd az 1-essel kezdődő számok valószínűsége, 99-nél pedig már vissza is térünk a kiinduló 11,1%-os értékre. Pont ahonnan indultunk. Aztán amint nagyságrendet ugrunk, a 100-asok klubjába lépve újra megindul az emelkedés, és ez a történet így megy tovább a végtelenségig. Minden egyes tízes nagyságrend megugrása után emelkedésnek indul az 1-essel kezdődő számok valószínűsége, majd pedig csak fokozatosan tér vissza a következő ugrás bekövetkeztéig a 11,1%-hoz.
Ennek az ingadozásnak a megértése a kulcs a Benford-szabályhoz. A való életben ugyanis az történik, hogy a sok nagyságrenden átívelő véletlenszerű számok bárhol lehetnek, és ezért ki kell átlagolnunk valamiképpen ezt az ingadozó valószínűséget.
E fenti számítás általános formájához pusztán a logaritmusszámítást kell ismernünk (amit ahogy korábban már megírtuk: az agyunk zsigerből tud). A formula a következő egy d-vel jelölt kezdő számjegyre:

10-es alapú logartimust véve könnyen kiszámolható, hogy az 1-essel kezdődő számok gyakorisága 30,1% körül lesz, míg a 9-eseké 4,6% körül. Fontos még hozzátenni, hogy az újabbnál újabb kutatások sorra megerősítették a Benford-szabály érvényességét a legkülönbözőbb adatforrásokon alapulva. Az is kiderült továbbá, hogy nem feltétlenül kell az adatoknak sok nagyságrenden átívelnie, ha azok egymástól különböző forrásokból származnak (vagyis véletlenszerű, hogy milyen az eloszlásuk).
A számok nem hazudnak
Ez mind szép és jó, de vajon mi ennek az egésznek a gyakorlati haszna? Nos, a válasz az, hogy ez a jelenség igencsak hasznos eszköz lehet arra, hogy „hazugságvizsgálat” alá helyezzünk társadalmi vagy gazdasági mutatókat.
A hétköznapi élet során előálló statisztikák és számszerű adatok ugyanis nagyon sok esetben megfelelnek a Benford-szabály minimum követelményeinek, más szóval: ezek a számok mind a fentiekben előírt gyakoriságok szerint kell, hogy megjelenjenek. Amennyiben mégsem így találjuk, akkor feltételezhető, hogy azokat valaki kézzel manipulálta.
Így történt például a görögök eurózónába való csatlakozásakor is, ahol is a makrogazdasági statisztikákról derült ki (késve), hogy azok valamilyen különös oknál fogva nem mentek át a Benford-teszten. De ugyanezt a módszert vetették be számos gazdasági csalás vizsgálatánál is, mint amilyen például az elhíresült Enron-botrány volt.
Az elmúlt időszakban pedig választások tisztaságára, illetve a COVID-19-ről közölt adatok ellenőrzésére is bevetették a Benford-szabályt, amiről később még külön beszélni fogunk itt a Portfolio Prof hasábjain.
Meglepő bejelentés: Szlovákia semlegességéről álmodik a miniszterelnök
A pártok kiakadtak a szomszédban.
Távozik Lázár János helyettes államtitkára, a vármegyebérlet kitalálója
A minisztérium megerősítette a hírt.
Erre nem sokan számítottak: történelmi csúcson az izraeli tőzsde
Miközben zajlik a katonai konfliktus.
Megnövekedett sugárzást mértek Iránban, teljes a káosz a perzsa államban - Híreink a közel-keleti konfliktusról kedden
Cikkünk folyamatosan frissül az iráni-izraeli konfliktus legfontosabb híreivel.
Komplex bér-, munkaügyi és HR audit
A munkajogi megfelelés, a pontos és precíz bérszámfejtés, valamint a megfelelő adminisztráció nemcsak a jogszabályoknak való megfelelés miatt kulcsfontosságú, hanem azért is, mert a munkaüg
"Fotózza le és küldje be!" - Ne, inkább ne tegye!
Nagy felháborodást váltott ki a Metropol c. ingyenes lap felhívása, amely arra buzdította olvasóit, hogy a \"Fotózza le és küldje be!\" rovathoz készítsenek és küldjenek a lapnak lehetőség
Euróbevezetés: A nemzeti intézményrendszer arbitrázsa
A saját, biztos deviza és a pénzkínálat feletti függetlenség elvétele kordában tudja tartani a demagóg politikát, de az ország szuverenitásának csorbítása jelentős politikai kockázat. Bul
Fordul a széljárás: felgyorsul a Demján Sándor Program támogatásainak kiosztása
A hazai kis- és középvállalkozásokat célzó Demján Sándor Program (DSP) jelentős fordulóponthoz érkezett: a korábbi, kivárásra épülő ütemezés helyett a kormányzat most az azonnali kifiz
Legyünk optimisták!
A túlzottan drámai világképről címmel friss posztom olvasható a nagyszerű individualista blogon. Röviden: a világ jobb hely, mint azt gondoljuk. Köszönöm Seres Lászlónak a közlést.
Terjed az e-autózás, csak bírjuk energiával
Kétkedők ide vagy oda: az e-autózás térhódítása töretlen. Ugyan Európában stagnált tavaly az értékesítési számuk, de Kínában már közel minden második eladott autó elektromos volt....
Régen minden hosszabb volt
\"Ne untass, irány a refrén!\" - szól a Roxette Greatest Hits albumának címe. Hiszen az a rész üt igazán, amit együtt tudunk, összeborulva óbégatni. A...
The post Régen minden hosszabb volt ap
Követett részvények - 2025. június
Havonta ránézek egyszer azokra a papírokra, amikből előbb vagy utóbb venni szeretnék. Általában a hetes chartokat nézem, 4-5 gyertya születik egy hónap alatt, ennyit már érdemes újra kiért


- Furcsaság az izraeli támadás kapcsán: mégis hova tűntek az iráni vadászgépek?
- Özönlenek a külföldiek Magyarországra, kiderült, honnan jönnek
- Veszélyes időjárási jelenség csap le Magyarországra: hőkupola alakul ki hazánk felett
- Egyetlen dolgon áll vagy bukik Irán túlélése, éppen emiatt bombázza őket Izrael
- Napokon belül kirobbanhat a háború, amitől mindenki tartott – Egyre több az aggasztó jel
Irán jelzést adott – máris eldőlt a háború?
Fontos fejlemények az öt napja tartó iráni-izraeli háborúról.
Csökkenhetnek a gyógyszerárak, de mi lesz a patikákkal?
Szalóki Katalinnal, az Innovatív Gyógyszergyártók Egyesületének igazgatójával beszélgettünk.
Csúcsközelben a tőzsdék - Mit tegyünk most?
A válasz nem az, amit elsőre gondolnánk!
Ügyvédek
A legjobb ügyvédek egy helyen
Kisokos a befektetés alapjairól, tippek, trükkök a tőzsdézéshez
Előadásunkat friss tőzsdézőknek ajánljuk, összeszedünk, minden fontos információt arról, hogy hogyan működik a tőzsde, mik a tőzsde alapjai, hogyan válaszd ki a számodra legjobb befektetési formát.
Számolj háromig és start!
Ne maradj le számlanyitási akciónkról! Webináriumunkon megmutatjuk, hogyan indítsd el első befektetésed, milyen új funkciók érhetők el kereskedési platformjainkon, milyen bónuszokat érdemes kihasználni, és hogyan vághatsz bele magabiztosan a tőzsdei kereskedésbe – akár már holnap.