Röst Gergely: A nyitás járványmatematikája - Megéri még egy kicsit türelmesnek lenni

Röst Gergely, matematikus

Mindenki türelmetlenül várja már, hogy visszaálljon az élet a rendes kerékvágásba. Azonban még mindig sokan fertőződnek meg napról napra, és a kórházak leterheltsége is magas. A cikkben azt járjuk körbe, hogy milyen körülmények alakítják a járvány menetét és hogyan érdemes a nyitásról gondolkodni. Egy kis járványmatematika, képletek és egyenletek nélkül.

A reprodukciós szám

A helyzet értékeléséhez fontos fogalom a reprodukciós szám, ami azt fejezi ki, hogy egy fertőzött átlagosan hány másik embernek fogja átadni a vírust a fertőzésének teljes ideje alatt. A járvány kezdetén, amikor mindenki fogékony és nincs még semmilyen védekező intézkedés életben, akkor ezt alap reprodukciós számnak nevezzük, és szokásos jele R₀. Később ezt mindenféle körülmények alakítják, az éppen aktuális értékét effektív reprodukciós számnak nevezik. Ezt most egyszerűen csak R-rel fogjuk jelölni, észben tartva, hogy ez az érték folyamatosan változik.

Amikor R>1, akkor éppen erősödik a járvány, amikor R<1 akkor pedig lecseng. Legjobb szakmai becsléseink szerint Magyarországon az R értékünk április elején már 1 alatt volt, jelenleg pedig 0,8 és 0,9 között van.

Ábrázoljuk!

A helyzetértékeléshez nem csak az R érték fontos, ami a trendet fejezi ki, hanem az éppen fennálló viszonyok is. Ezt most kissé leegyszerűsítve a kórházak leterheltségével azonosítjuk, és ezt a két indikátort egy koordináta-rendszerben ábrázoljuk. Az (A) ábrán bejelöltünk néhány dolgot: a függőleges szaggatott vonal jelöli az R=1 küszöbértéket, a vízszintes szaggatott pedig a kórházak terheltségének egy kritikus szintjét. A bal alsó sarokban van a biztonságos övezet, amikor alacsony a terheltség és a trend is kedvező. Ezzel szemben a jobb fölső sarok a vörös zóna, amikor a terheltség nagyon magas és még ez a helyzet is gyorsan romlik.

Merre halad a járvány és ezt hogyan befolyásolhatjuk?

A (B) ábra azt mutatja, merre halad a járvány ebben a koordináta-rendszerben, ahogy telik az idő. Amikor R>1 (szaggatott vonaltól jobbra), akkor emelkedik az esetszám, ezért fölfelé haladunk. Amikor pedig R<1 (szaggatott vonaltól balra), akkor pedig lefelé. De hogyan változik maga az R érték? Ezt az alábbi összefüggésből lehet megérteni, amit a terjedés törvényének is szoktam nevezni:

R= (egy ember napi kontaktusainak átlagos száma) x (fertőzés átadásának valószínűsége egy találkozás során) x (fertőző periódus hossza) x (fogékonyak aránya).

A korlátozó intézkedések alapvetően az első tényezőt csökkentik, a maszkviselés pedig a másodikat. A fertőző periódus ugyan biológiailag meghatározott, de ha hatékony teszteléssel és kontaktkutatással gyorsan megtalálnánk a fertőzötteket, akkor lerövidíthető lenne az az idő, amíg a fertőzöttek jönnek mennek közöttünk és közben fertőznek. Az utolsó tényezőt a védőoltási program csökkenti, valamint az átvészeltség. Ez az oka, hogy előbb-utóbb minden járványhullám lecseng: ha már sokan megfertőződtek, a fogékonyak aránya lecsökken annyira, hogy az R értéke is 1 alá megy (egy lehetséges lefutást mutat a fehér görbe). Ezt persze nem akarjuk megvárni, mert ez könnyen a vörös zónába vinne minket és óriási áldozatokkal járna. A bevezetett szigorító intézkedések tehát csökkentik az R értéket (balra ugrunk az ábrán, piros nyíl), míg ezek feloldása növeli (jobbra ugrunk az ábrán, kék nyíl). A védőoltások pedig folyamatosan csökkentik, hiszen ahogy nő az átoltottság, a fogékonyak aránya is csökken. Vegyük észre, hogy attól még hogy R értéke elkezd csökkenni, a kórházi terhelés még sokáig nőhet, mindaddig amíg R<1 nem lesz.

Mi történt eddig Magyarországon?

Egy ilyen ábrán az eddig történtek is jól szemléltethetők, bontsuk ezt három fázisra:

Első hullám. Tavaly februárban kb. R=2,4-ről indultunk, de a kontaktusaink száma márciusban nagyon gyorsan drasztikusan lecsökkent, így az R érték hamar 1 alá ugrott és az első hullámot sikerült időben elfojtani.
Második hullám. Nyáron lassan de folyamatosan nőtt a kontaktusok száma, és a nyár végi / szeptember eleji turbulens időszak után R=1,4-en megállapodott, nagyjából a novemberi intézkedésekig. November vége felé csökkent R ismét 1 alá, majd januárra 0,8-ig.
Átmenet a harmadik hullámba. A brit variáns fertőzőképesebb, R értéke azonos körülmények között kb. 50-100%-kal magasabb a vuhani típusnál. Ez azonban nem hirtelen ugrásként jelenik meg a brit variáns felbukkanásakor, hiszen az R az az összes fertőzöttre vonatkozó átlagos érték. Az elején még kevés brit változat volt a fertőzöttek között, majd ahogy egyre dominánsabb lett, úgy növekedett folyamatosan az R értékünk is, egészen a március eleji R=1,3-ig. Azóta R folyamatosan csökken, és a nagy kérdés az az, hogy az enyhítések ezen hogyan fognak változtatni.

Az eddig történteket szemlélteti a (C) ábra, ahol a nyilak mentén végigkövethetjük az eseményeket, és a nagyobb fordulópontoknál változtattunk a színezésen. A folytonos görbék folyamatos időbeli változást jelölnek, a pöttyözött nyilak pedig az intézkedéseknek betudható ugrásszerű R-csökkenéseket mutatják (kivéve az alsó sárgát, amivel a nyári időszak átugrását jelöltük).

Meddig várjunk és mekkorát nyissunk?

Járványügyi szempontból az ideális az lenne, ha meg tudnánk várni, amíg a biztonságos zöld zónába érünk, és olyan magas átoltottságot érnénk el, hogy onnan már egy nagy nyitás se tudna kimozdítani. Ezzel szemben állnak a nyitást sürgető gazdasági és társadalmi érdekek. A (D) ábrán azt mutatjuk be, mit lehet nyerni egy kis türelemmel. Képzeljük el, hogy a harmadik hullámunk lecsengő fázisában (ami csak az intézkedések jelenlegi szintje mellett lecsengő) két különböző időpontban enyhítünk akkorát, ami az R értéket ideiglenesen 1 körüli értékre növeli vissza, és egy időszakos stagnálást okoz. A két görbe közötti terület az, amit a későbbre halasztott nyitással nyerünk: annyival kevesebben fognak megfertőződni és esetleg súlyos állapotba kerülni. A döntéshozóknak ezt gondosan mérlegelniük kell: minden egyes enyhítés lassítja a lecsengést és végső soron több fertőzöttet eredményez. Most a járvány egy olyan szakaszában vagyunk, amikor még magas az új fertőzések száma, tehát magas a megfertőződés kockázata is, ugyanakkor gyors ütemben nő a védettek száma.

Ez pont egy olyan időszak, amikor egy kis türelem nagy járványügyi nyereséget hozhat.

Ezt nekünk, magunknak is érdemes figyelembe vennünk a mindennapi életünk során: bármilyen tevékenység, akár egy családi összejövetel is jóval kisebb kockázatú lehet néhány hét múlva, mint most. Érdemes még egy kicsit türelmesnek lenni, hogy minél hamarabb eljussunk az áhított zöld zónába.